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Les circuits et fonctions logiques
Introduction
Vers le milieu du 19e
siècle, le mathématicien et logicien George
Boole, donna à cette logique une formulation
mathématique en remplaçant les phrases par les
lettres et en introduisant des signes relatives au
diverses mode de coupage.
En algèbre logique (algèbre de Boole), une donnée ne peut prendre que deux valeurs : Donnée qui est vrai prend la valeur 1 (le 1 logique). Donnée qui est fausse prend la valeur 0 (le 0 logique). À un ensemble de propositions liées par des opérations (formule), on peut donc associer un circuit électrique. La formule est vraie si le courant passe dans le circuit, fausse si le courant ne passe pas. Ainsi, la formule p ^ q équivaut à un circuit où les deux interrupteurs sont montés en série. Le courant passe dans le circuit si et seulement si les deux interrupteurs sont fermés, c'est-à-dire si p et q sont toutes les deux vraies. De même, l'affirmation p U q équivaut à un circuit où les deux interrupteurs sont montés en parallèle. Le courant passe dans le circuit si l'une ou l'autre des affirmations ou les deux sont vraies, c'est-à-dire si les interrupteurs correspondants sont fermés. Définitions
circuit logique, circuits
électroniques, également appelés
dispositifs logiques dont la fonction est de produire des sorties
binaires spécifiées, à partir
d'entrées binaires spécifiées ; cette
opération est réalisée par un circuit
matériel utilisant des portes logiques.
Une porte logique est un dispositif (la plupart du
temps électronique) qui réalise une fonction
logique élémentaire, à savoir ET, OU,
NON-ET, NON-OU. Pour une porte logique électronique, les
signaux d'entrée et de sortie peuvent prendre deux niveaux
de tension : le niveau élevé
représente la réponse « vrai
» (le 1 logique), et le niveau faible la réponse
« faux » (le 0 logique).
Un circuit matériel, construit à
partir de boîtiers de circuits intégrés
sur des cartes circuits, requiert deux types de câblage : un
premier type pour la circulation de l'information logique entre deux
portes, et un deuxième, pour l'alimentation des puces, qui
doit être placé sur les circuits de sorte que
ceux-ci n'interfèrent pas avec les signaux logiques.
Les circuits logiques peuvent être analysés mathématiquement en utilisant l'algèbre booléenne, ou algèbre des commutations. Dans cette représentation, le binaire 1 est associé à l'élément identité, et le 0 logique à l'élément nul. Variables et fonctions logiques, tables de vérité a) variables :La variable logique est une grandeur qui ne peut prendre que la valeur 0ou 1. Cette valeur se note comme en algèbre (a, b, x…). b) fonctions logiques :La fonction logique est le résultat de combinaison (logique combinatoire) d’une ou de plusieurs variables reliées entre elles par des opérations mathématiques booléennes bien définies : La valeur résultante de la valeur des variables logiques, elle ne peut être que 0 ou 1. La variable logique en deux valeurs, il n’existe que 2 combinaisons possibles à l’entrée, il existe 4 combinaisons de valeurs de sortie à ces variables d’entrées. D’une manière
générale, pour n variable on a 2n combinaisons
et Exemple : Pour un seul variable on a 2 combinaisons et 4 fonctions. Pour 4 variables, on a 8 combinaisons et 16 fonctions.
c) table de vérité: La relation entrée-sortie d’un système logique peut être mise sous forme d’un tableau que l’on nomme table de vérité. Une table de vérité comporte 2n lignes où n est les nombre de variable d’entrées. Elle comporte toutes les combinaisons possibles de variables. Soit un système logique à deux variables A et B.
table de vérité:
Représentations des fonctions logiques a)Formes algébriquesDans
cette partie, nous allons montrer les
opérateurs logiques suivants et leurs
représentations schématiques : 1) L’opérateur logique ET (AND)(7408)  table de vérité:
2)L’opérateur logique OU(OR)(7432) L’opérateur OR réalise une addition logique entre des variables. Il joue le même rôle que celle des contacteurs montés en dérivation. Représentation schématique:  table de vérité:
3)L’opérateur logique NON (NOT) L’opérateur
logique NOT joue le rôle d’inverseur. Et
même, on l’appelle inverseur. Le
résultat obtenu à la sortie est
l’inverse du résultat appliqué a
l’entrée( il faut tenir compte qu'en algebre de
boole l'inverse de 1 n'est pas 1/1 mais plutôt 0...).
Représentation schématique:  table de vérité:
 4)L’opérateur logique NON-ET (NAND) L’opérateur logique NON-ET réalise l’inverse d’une multiplication des variables. C'est-à-dire il réalise la multiplication entre des variables mais le produit il met l’inverse. Représentation schématique: table de vérité:
 4)L’opérateur logique NON-OU (NOR) L’opérateur logique NON-OU réalise l’addition logique des variables en mettant l’inverse de la somme comme résultat. 
 5)L’opérateur logique OU EXCLUSIF (XOR)  Remarque : la sortie est égale à 0 si les entrées sont identiques et elle est egale à 1 si les 2 entrées sont différentes. b)Forme disjonctive Elle correspond à une
somme des produits logiques. Si chacun des produits contient toutes les variables d’entrée sous une forme directe ou complémentée, alors la forme est appelée « première forme canonique » ou « forme canonique disjonctive ».Chacun des produits est alors appelé minterme.
Elle fait référence à un produit de sommes logiques . Exemple : F(A,B,C) = (A+B) (B+C) (A+C+B ). Si chacune des sommes
contient toutes les variables d’entrée sous une
forme directe ou complémentée, alors la forme est
appelée « deuxième forme canonique »
ou « forme canonique
conjonctive ». Chacune des sommes est alors
appelée maxterme.
d)Équivalence
entre la table de vérité et forme canonique: table de vérité:  Si Y= 1, l’expression de la
fonction Y sera : La fonction Y est la forme canonique. Et dans ce tableau de vérité, on peut en avoir plusieurs formes canoniques selon les cas à étudier. Par exemple le cas déjà étudié est le cas ou la forme canonique est disjonctive (avec Y=1). Si nous voudrions étudier le cas où Y=0 ou le cas où la forme canonique est conjonctive, on devrait bien sure avoir des résultats différents. Dans le cas de la réalisation pratique, cette forme canonique doit être simplifié. Description de méthodes de simplification
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