Étude de la fonction [latex]{f:xmapsto displaystylesumlimits_{nin mathbb{N}}ln (1+e^{-nx})}[/latex]. Équivalent de [latex]f[/latex] en [latex]0[/latex].→ Lire la suite
- Points extrémaux d’une partie convexe Soit [latex]{X}[/latex] une partie convexe d'un [latex]{mathbb{R}}[/latex]-espace vectoriel [latex]{E}[/latex]. Un point [latex]{uin X}[/latex] est dit extrémal si [latex]{Xbackslash {u}}[/latex] est convexe. On munit [latex]{mathbb{R}^{2}}[/latex] de la norme euclidienne.Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée. Même question pour la norme définie par [latex]{||(x,y)||=|x|+|y|}[/latex]. Montrer que [latex]{u}[/latex] est extrémal dans [latex]{X}[/latex] si et seulement si [latex]{u}[/latex] n'est pas le milieu de deux points de [latex]{Xbackslash {u}}[/latex]. Soit [latex]{mathcal{B}}[/latex] la boule unité fermée d'un espace euclidien [latex]{E}[/latex].On munit [latex]{mathcal{L}(E)}[/latex] de la norme: [latex]{N(u)=suplimits_{xin mathcal{B}}||u(x)||}[/latex]. Montrer que le groupe orthogonal [latex]{O(E)}[/latex] est l'ensemble des points extrémaux de [latex]{mathcal{B}}[/latex]. On admettra que…
- Une inéquation différentielle Soit [latex]{fin C^{1}(mathbb{R}, mathbb{R})}[/latex] telle que [latex]{f(1)=1}[/latex] et : [latex]{forall xgeq 1}[/latex], [latex]{f^{prime }(x)=dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}[/latex]. Montrer que [latex]{f}[/latex] a une limite finie [latex]{L}[/latex] en [latex]{+infty }[/latex] et que [latex]{Lleq 1+dfrac{pi}{4}}[/latex]→ Lire la suite
- Une base de Kn[X] Soient [latex]{Pin mathbb{K}[X]}[/latex], de degré [latex]{n}[/latex], et soient [latex]{a_{0},...,a_{n}}[/latex] distincts dans [latex]{mathbb{K}}[/latex]. Montrer que les polynômes [latex]{P_j(X)=P(X+a_{j})}[/latex] forment une base de [latex]{mathbb{K}_{n}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Une factorisation Soit [latex]{nin mathbb{N}^{ast }}[/latex]. On considère le polynôme : [latex display="true"]{begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}end{array}}[/latex]Trouver les racines de [latex]{P_n}[/latex] et le factoriser dans [latex]{mathbb{C}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Comment Trouver la Clé de Série de Tout Logiciel 2018… Trouver la Clé de Série de Tout Logiciel ou programme informatique devient de nos jours un besoin incontournable et surtout les utilisateurs veulent la clé de Série ou la clé d’activations de n’importe quel logiciel de manière gratuite. Les clés de série ou clés d’activations sont souvent nécessaires pendant l’installation d’un programme professionnel ou payant ou parfois après l’utilisation d’un programme après une certaine période de temps. Alors dans cet article, nous allons voir une méthode pour laquelle vous pouvez trouver la clé de série ou la clé d’activation de tout logiciel gratuitement. Voici la méthode par laquelle vous pouvez →…
- Puissances et racines de matrices Pour [latex]{Ainmathcal{M}_n(mathbb{K})}[/latex], calcul de [latex]{A^n,,ninmathbb{Z}}[/latex] de [latex]{A^{1/n}}[/latex], de [latex]{exp(A)}[/latex] → Lire la suite
- Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a (Exercice d'oral Centrale Mp) Pour tout réel [latex]{a}[/latex], on sait que la suite [latex]{n mapsto (1+1/n)^(n+a)}[/latex] tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre [latex]{a}[/latex].→ Lire la suite
- Un produit scalaire entre polynômes Étude de [latex]{left(fmid gright)=dfrac{2}{n}displaystylesumlimits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})[/latex], où [latex][latex]{c_k=cosBigl(dfrac{(2k+1)pi}{2n}Bigr)}[/latex][→ Lire la suite
- Un condition suffisante de nilpotence Soit [latex]{Min mathcal{M}_{n}(mathbb{R})}[/latex]. Alors [latex]{M}[/latex] est nilpotente [latex]{Leftrightarrowforall kinmathbb{N}^*mathrm{t}mathrm{r}(M^{k})=0}[/latex].→ Lire la suite
- Déterminant et polynômes Soit [latex]ninmathbb{N}[/latex], et [latex]{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=displaystylesum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}[/latex] pour [latex]0le jle n[/latex]. On étudie la matrice des coefficients [latex]a_{n,i,j}[/latex] et on calcule son déterminant.→ Lire la suite